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ボリュームレンダリング方程式 (Volume Rendering Equation) 2

ノイマン級数展開

\begin{equation*} \Abk{O_S L}(\vx, \vomega) := \int_{\mathcal{S}^2} f_s(\vx_S, \vomega_i, \vomega) L(\vx_S, \vomega_i) \absb{\vomega_i \! \cdot \vec{n}_S} d\vomega_i \end{equation*} \begin{equation*} \Abk{O_V L} := \sigma_s(\vx') \int_{\mathcal{S}^2} f_p(\vx', \vomega', \vomega) L(\vx', \vomega') d\vomega' \end{equation*} \begin{equation*} \Abk{O_T L} := \int_0^{\norma{\vx_S - \vx}} T(\vx', \vx) L(\vx', \vomega) ds \end{equation*} \begin{eqnarray*} L_i &=& O_T \Brc{\delta(s) \Brk{L_e^S + O_S L_i} + \Brk{L_e^V + O_V L_i}} \\ &=& O_T \Brc{\delta(s) L_e^S + L_e^V} + O_T \Brc{\delta(s) O_S + O_V} L_i \\ &=& O_T L_e + O_T O_{SV} L_i \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} L_i &=& O_T L_e + (O_T O_{SV}) O_T L_e + (O_T O_{SV})^2 O_T L_e + (O_T O_{SV})^3 O_T L_e + \cdots \\ &=& \sum_{i = 0}^\infty (O_T O_{SV})^i O_T L_e = \sum_{i = 0}^\infty O_T (O_{SV} O_T)^i L_e \end{eqnarray*}

経路積分による定式化

\begin{equation*} \begin{split} L_i (\vx_0, \vomega) &= \sum_{k = 1}^{\infty} \left\{ \vphantom{\int_{\mathcal{S}^2}} \right. \int_0^{\norma{\vx_{S, 1} - \vx_0}} \hspace{-3mm} T(\vx_1, \vx_0) \times \\ & \hspace{25mm} \left. \begin{array}{l} \displaystyle \int_{\mathcal{S}^2} K (\vx_{S, 2}, \vx_1, \vx_0) \int_0^{\norma{\vx_{S, 2} - \vx_1}} \hspace{-3mm} T(\vx_2, \vx_1) \times \\ \displaystyle \int_{\mathcal{S}^2} K (\vx_{S, 3}, \vx_2, \vx_1) \int_0^{\norma{\vx_{S, 3} - \vx_2}} \hspace{-3mm} T(\vx_3, \vx_2) \times \cdots \\ \displaystyle \int_{\mathcal{S}^2} K (\vx_{S, k}, \vx_{k - 1}, \vx_{k - 2}) \int_0^{\norma{\vx_{S, k} - \vx_{k - 1}}} \hspace{-7mm} T(\vx_k, \vx_{k - 1}) \times \end{array} \right\} \; k - 1個 \\ & \hspace{35mm} L_e (\vx_k \RAR \vx_{k - 1}) \times \\ & \hspace{42mm} \underbrace{(ds_k d\vomega_{S, k}) (ds_{k - 1} d\vomega_{S, k - 1}) \ldots (ds_2 d\vomega_{S, 2})}_{k - 1個} ds_1 \left. \vphantom{\int_{\mathcal{S}^2}} \right\} \end{split} \end{equation*} \begin{equation*} K(\vx_a, \vx_b, \vx_c) := \left\{ \begin{array}{ll} \displaystyle f_s(\vx_a \RAR \vx_b \RAR \vx_c) \absb{\vec{n}_b \cdot \vomega_{\vx_a \vx_b}} & \vx_bが物体表面 \\ \displaystyle \sigma_s(\vx_b) \, f_p(\vx_a \RAR \vx_b \RAR \vx_c) & \vx_bが媒質中 \end{array} \right. \end{equation*} \begin{equation*} \begin{split} L_i (\vx_0, \vomega) &= \sum_{k = 1}^{\infty} \left\{ \vphantom{\int_{\mathcal{S}^2}} \right. \int_0^{\norma{\vx_{S, 1} - \vx_0}} \hspace{-3mm} T(\vx_1, \vx_0) \times \\ & \hspace{25mm} \left. \begin{array}{l} \displaystyle \int_{\mathcal{V}} K' (\vx_2, \vx_1, \vx_0) T(\vx_2, \vx_1) \times \\ \displaystyle \int_{\mathcal{V}} K' (\vx_3, \vx_2, \vx_1) T(\vx_3, \vx_2) \times \cdots \\ \displaystyle \int_{\mathcal{V}} K' (\vx_k, \vx_{k - 1}, \vx_{k - 2}) T(\vx_k, \vx_{k - 1}) \times \end{array} \right\} \; k - 1個 \\ & \hspace{35mm} L_e (\vx_k \RAR \vx_{k - 1}) \times \\ & \hspace{42mm} \underbrace{d\mu_k d\mu_{k - 1} \ldots d\mu_2}_{k - 1個} ds_1 \left. \vphantom{\int_{\mathcal{S}^2}} \right\} \end{split} \end{equation*} \begin{equation*} K'(\vx_a, \vx_b, \vx_c) := \left\{ \begin{array}{ll} \displaystyle f_s(\vx_a \RAR \vx_b \RAR \vx_c) G(\vx_a \LRAR \vx_b) & \vx_bが物体表面 \\ \displaystyle \sigma_s(\vx_b) \, f_p(\vx_a \RAR \vx_b \RAR \vx_c) G(\vx_a \LRAR \vx_b) & \vx_bが媒質中 \end{array} \right. \end{equation*}

measurement contribution function

参考文献

  • [Pauly1999] Mark Pauly - "Robust Monte Carlo Methods for Photorealistic Rendering of Volumetric Effects", 1999
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