双方向(反射率|透過率|散乱)分布関数 (B(R|T|S)DF)

ある点 $ \vx_i $ にある方向 $ \vomega_i $ から入射した光が別の点 $ \vx_o $ から別の方向 $ \vomega_o $ に向かって出射することを考えてみます。このとき、$ \vx_i $ に入射する放射束を $ \d\Phi_i(\vx_i, \vomega_i) $、その放射束によって$ \vx_o $ から反射する放射輝度を $ \d L_r(\vx_o, \vomega_o) $ で表します。一般的には $ \d L_r $ は $ \d\Phi_i $ に比例します。すなわち次に示すような関係を持ちます。 \begin{equation} \d L_r = S \d\Phi_i \label{eq:proportinal_factor_S} \end{equation} この比例係数 $ S $ は一般的には入射光の物体表面上の位置と入射方向、出射光の位置と入射方向に依存して変化する関数であるため次のように表されます。 \begin{equation} S = S(\vx_i, \vomega_i, \vx_o, \vomega_o) \label{eq:BSSRDF_parameters} \end{equation} ここで入射光と出射光の間の距離がゼロ、光は入射したところから反射していくという近似を考えれば、ある点 $ \vx $ の出射光に寄与するのは同じ点に入射した放射束のみとなります。そのような局所的な領域における入射光と出射光の関係は微小放射束 $ \d\Phi_i $ の代わりに微小放射照度 $ \d E_i(\vx, \vomega_i) $ を使って表すことができます。そしてある点 $ \vx $ を出射する放射輝度 $ \d L_r(\vx, \vomega_o) $ と次のように関係付けることができます。 \begin{equation*} \d L_r(\vx, \vomega_o) = f_r(\vx, \vomega_i, \vomega_o) \d E_i(\vx, \vomega_i) \end{equation*} ここで、$ f_r $ をBRDFと呼びます。上式をBRDFに関して変形します。 \begin{equation*} f_r(\vx, \vomega_i, \vomega_o) = \frac{\d L_r(\vx, \vomega_o)}{\d E_i(\vx, \vomega_i)} = \frac{\d L_r(\vx, \vomega_o)}{L_i(\vx, \vomega_i) \abs{\vomega_i \cdot \vec{n}} \d\vomega_i} \end{equation*} この式より、BRDFは(ある方向から)入射する放射照度に対する反射される放射輝度の比を表していることがわかります。そして微小放射照度 $ \d E_i $ は入射する放射輝度 $ L_i $ を使って $ \d E_i(\vx_i, \vomega_i) = L_i(\vx, \vomega_i) \abs{\vomega_i \cdot \vec{n}} \d\vomega_i $ と表せます。なぜ、入射する放射輝度ではなく放射「照度」なのかと疑問を持つかもしれません。物体表面の微小面積に降り注ぐエネルギーは同じ輝度でも光を当てる角度によって変化します。BRDFでは、物体の特性のみで反射特性を表現したいために入射に関しては放射照度となっています。また、そのためにBRDFの単位は $ \Brk{\mathrm{sr}^{-1}} $ となります。なお、BRDFでは入射方向を実際の光の向きとは逆向きに定義します。

BRDFは名前に「反射率」とあるため取りうる値の範囲が $ [0, 1] $ であると思うかもしれませんが、BRDFは確率密度関数のようなもの、というか実質それそのもので、値の範囲は $ [0, \infty) $ であり直接計測のできるものではありません。実際完全鏡面反射のBRDFは理論上無限大(デルタ関数)になります。「直接計測できない」のはなぜかというと、現実では計測の幅を無限小(BRDFの場合、特定の一点 + 特定の一方向 x2)にすることができないからです。似たような話はBRDFに限らず多々あり、例えば速度計による瞬間速度の計測があります。速度計も瞬間速度を直接計測できるわけではなく、十分に小さい時間幅における何かしらの移動量を測定し、平均速度を瞬間速度の近似とします。

ところで、入射点と出射点が同じであると言う近似を入れる前、式\eqref{eq:proportinal_factor_S}の $ S $ は「双方向散乱面反射率分布関数 (BSSRDF)」と呼ばれます。BSSRDFは式\eqref{eq:BSSRDF_parameters}にあるように、8次元関数で表されます。

BRDFには「ヘルムホルツの相反性(reciprocity)」という重要な性質があります。(後述するBTDFには無い！)これは以下の式で表されます。 \begin{eqnarray*} f_r(\vx, \vomega_i, \vomega_o) = f_r(\vx, \vomega_o, \vomega_i) \end{eqnarray*} つまり、入射方向と出射方向を入れ替えても同じBRDFの値が得られることを意味しています。ここで勘違いしてはならないのが、例えば100の光が80で反射される入射、出射方向の組み合わせがあったとして、逆方向から80の光を入れて100が反射されるわけではないことです。当然ですが。この場合は逆方向から80の光が入ると64の光が反射されます。

物体表面は受けた光エネルギー以上のエネルギーを反射することはできないというエネルギー保存則を満たすため、BRDFは次の式を満たします。 \begin{eqnarray} \int_{\mathcal{H}^2} f_r \Prta{\vx, \vomega_i, \vomega_o} \absb{\vomega_o \cdot \vec{n}} \d\vomega_o \leq 1 \hspace{5mm}\mbox{for all $ \vomega_i \in \mathcal{H}^2 $} \label{eq:BRDF_energy_conservation} \end{eqnarray} ここで、$ \mathcal{H}^2 $ は点 $ \vx $ 上の半球を表していますが、法線が向いている側の半球、反対方向の半球どちらに関してもこの式は成り立ちます。上の式は以下に示すように、$ 1 $ の微小放射照度を与えたときのある方向への微小放射発散度 $ \d B_r $ を全方向に積分して、1以下にならねばならないこと(さらに、それがあらゆる入射方向に関して成り立つこと)を言っています。 \begin{eqnarray*} \int_{\mathcal{H}^2} \d B_r(\vx, \vomega_o) = \int_{\mathcal{H}^2} L_r(\vx, \vomega_o) \absb{\vomega_o \cdot \vec{n}} \d\vomega_o = \int_{\mathcal{H}^2} f_r \Prta{\vx, \vomega_i, \vomega_o} \cdot 1 \cdot \absb{\vomega_o \cdot \vec{n}} \d\vomega_o \leq 1 \end{eqnarray*}

(a) (理想)拡散反射

(b) (理想)鏡面反射

(c) 光沢反射

図3. BRDFの分類

BRDFは拡散反射、鏡面反射、光沢反射の3つに大別される。

BRDFはその反射特性から3つに大別することができ、あらゆる方向におおよそ等しく反射する拡散反射(Diffuse Reflection)、正反射方向にのみ反射する鏡面反射(Specular Reflection)、そして正反射方向を中心としてある程度の広がりを持って反射する光沢反射(Glossy Reflection)に分けられます。ただし光沢反射のこともまとめて鏡面反射と呼ぶことも少なくありません。拡散反射は非常にざらざらした物体表面によく見られ、全ての方向に完全に等しく反射する場合には理想拡散反射、ランバート反射と呼ばれます。鏡面反射は逆に綺麗に磨かれた滑らかな表面で起こります。図1にBRDFが実際の見た目にどう影響するかを示したレンダリング画像を掲載しています。

図6. 透過時の放射輝度の変化

屈折によって光がより狭い立体角へと集中するため放射輝度に変化が生じる。

少し意外かもしれませんがBTDFはヘルムホルツの相反性を満たしません。上図のように屈折率の高い物質に光が半球上の全方向から入射することを考えた場合、それらの光は界面を挟んで反対側では半球よりも小さな範囲へと透過します。そのため明らかに光の密度、つまり放射輝度に変化が生じている事がわかります。これより透過の場合には入射方向、出射方向を入れ替えても相反性が成り立たないことがわかると思います。BTDFを $ f_t $ で、入射側、出射側の屈折率をそれぞれ $ \eta_i $, $ \eta_o $ で表すとBTDFは次の関係を持ちます[Walter2007]。 \begin{equation*} \frac{f_t(\vx, \vomega_i, \vomega_o)}{\eta_o^2} = \frac{f_t(\vx, \vomega_o, \vomega_i)}{\eta_i^2} \end{equation*} この式から考えると、放射輝度の代わりに「放射輝度を場の屈折率の二乗で割ったもの($ L \, / \, \eta^2 $, basic radianceなどと呼ばれる [Nicodemus1976])」を考えれば、相反性を持つことがわかると思います。basic radianceに対するBTDF ( $ f_{b, t} $ とでも書きましょう)を次のように考えます。 \begin{equation*} f_{b, t}(\vx, \vomega_i, \vomega_o) = \frac{f_t(\vx, \vomega_i, \vomega_o)}{\eta_o^2} \end{equation*} そして、このBTDFは相反性を持ちます。 \begin{eqnarray*} f_{b, t} \Prta{\vx, \vomega_i, \vomega_o} = f_{b, t} \Prta{\vx, \vomega_o, \vomega_i} \end{eqnarray*}

BTDFは前述の通り、通常の放射輝度の範疇では相反性は持たないもののエネルギー保存則はBRDFと同様に満たします。 \begin{equation*} \int_{\mathcal{H}_-^2} f_t \Prta{\vx, \vomega_i, \vomega_o} \absb{\vomega_o \cdot \vec{n}} \d\vomega_o \leq 1 \hspace{5mm} \mbox{for all $ \vomega_i \in \mathcal{H}_+^2 $} \end{equation*} ここで、$ \mathcal{H}_+^2 $、$ \mathcal{H}_-^2 $ はそれぞれ法線方向、逆方向の半球の範囲を表していますが、これらを入れ替えてもこの式は成り立ちます。 (相対)屈折率によって $ f_t $ の値が大きくなったり小さくなったりしますが、屈折によって光線が通過する範囲が半球内で変化するのでエネルギーの総量には影響はありません。

BSDFはBTDFが相反性を持たないために、通常の放射輝度の範疇では同様に相反性を持たないことになりますが、basic radianceに関する相反性はBTDF同様に持ちます。BRDFを考えていることに等しい方向の組み合わせ(すなわち同じ半球内)の場合は屈折率が一致するため、次に示すようにbasic radianceに関する相反性の関係は通常の相反性の関係へ戻ります。 \begin{eqnarray*} \frac{f_s(\vx, \vomega_i, \vomega_o)}{\eta_o^2} &=& \frac{f_s(\vx, \vomega_o, \vomega_i)}{\eta_i^2} \hspace{5mm} \vomega_i, \vomega_o \in \mathcal{H}_*, \; *: +, - \\ f_s(\vx, \vomega_i, \vomega_o) &=& f_s(\vx, \vomega_o, \vomega_i) \hspace{5mm} \because \eta_o = \eta_i \end{eqnarray*} ちなみにbasic radianceに対応するBSDFのことを[Veach1998]ではそのままbasic BSDFと呼んでいます。

BRDF、BTDFがエネルギー保存則を満たすようにBSDFも次の式を満たします。 \begin{equation*} \int_{\mathcal{S}^2} f_s \Prta{\vx, \vomega_i, \vomega_o} \absb{\vomega_o \cdot \vec{n}} \d\vomega_o \leq 1 \hspace{5mm}\mbox{for all $ \vomega_i \in \mathcal{S}^2 $} \end{equation*}

理想的な拡散BRDFは反射方向に依存せず、反射する放射輝度は入射する微小放射照度を考える際にかかるcos項(BRDF自体には含まれない項)にのみ依存します。ランバートの余弦則よりランバート(Lambert)BRDFとも呼ばれます。反射率 $ \rho $ の完全拡散BRDFは次の式で表されます。 \begin{equation*} f_r(\vomega_i, \vomega_o) = \frac{\rho}{\pi} \end{equation*} ここで疑問が生じるかもしれません。半球内のあらゆる方向に等しく反射するのなら分母は半球の立体角 $ 2\pi $ になると考える人も多いでしょう。$ \pi $ になる理由は，BRDFがあくまで入射する放射照度に対する「放射輝度」で表されているからです。放射輝度はある点からある方向に出るエネルギー量ですが、cos項によって割られているため、同じエネルギー量であっても出射方向によって放射輝度は変化します。そのため反射率を求める場合には、BRDFにcos項を乗じてから積分します。 \begin{equation*} \int_{\mathcal{H}_+^2} \frac{\rho}{\pi} \cos{\theta} \d\vomega = \int_0^{2\pi} \!\!\! \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\rho}{\pi} \cos{\theta} \sin{\theta} \d\theta \d\phi = \rho \end{equation*}

\begin{equation*} f_r(\vomega_i, \vomega_o) = F_r(\vomega_i) \frac{\delta(\mathrm{R}(\vomega_i) - \vomega_o)}{\absb{\vomega_i \cdot \vec{n}}} \end{equation*} 完全鏡面BRDFは厄介な存在でデルタ関数を使って上記のように記述されます。$ \mathrm{R}(\vomega) $ は法線に対して $ \vomega $ の鏡面反射方向を得る関数です。つまり $ \vomega_i $ と $ \vomega_o $ が完全に鏡面反射方向の関係にあるときのみBRDFが値を持ちます(それ以外では全てゼロ)。$ F_r $ は入射方向に依存する反射率で、典型的にはフレネル反射率などが当てはまります。デルタ関数がその特性から天下り的に定義されているように、完全鏡面BRDFも何か解きたい積分があってそこから定義されています。「レンダリング方程式」の積分で扱う場合には、ある方向 $ \vomega_i $ から来た放射輝度 $ L_i $ に反射率 $ F_r $ がかかって $ \vomega_o $ 方向へ出ていくという特性を記述するために上記のように定義されます。デルタ関数は積分とセットで使って意味を持つので、上記BRDFの式は相反性を持たないように見えますが、それも恐らくデルタ関数の弊害です(詳しい人教えてください)。

\begin{equation*} f_t(\vomega_i, \vomega_o) = \frac{\eta_o^2}{\eta_i^2} \Prt{1 - F_r(\vomega_i)} \frac{\delta(\mathrm{T}(\vomega_i) - \vomega_o)}{\absb{\vomega_i \cdot \vec{n}}} \end{equation*} 完全鏡面BTDFも完全鏡面BRDFと同じくデルタ関数を使って定義されます。$ \mathrm{T}(\vomega) $ は法線に対して $ \vomega $ の鏡面透過方向を得る関数です。屈折率による放射輝度の補正がかかっている点に注意してください。

\begin{equation*} f_r(\vomega_i, \vomega_o) = \frac{F(\vomega_i, \vomega_o) G(\vomega_i, \vomega_o) D(\vomega_i, \vomega_o)}{4 \absb{\vomega_i \cdot \vec{n}} \absb{\vomega_o \cdot \vec{n}}} \end{equation*} 物体表面が微小な面(microfacet)の集合で成り立っていると考え、その法線の分布 $ D $ や遮蔽関係の分布 $ G $ の数学的なモデルを考えたBRDFをマイクロファセットBRDFと呼びます[Walter2007]。

\begin{equation*} f_t(\vomega_i, \vomega_o) = \frac{\absb{\vomega_i \cdot \vomega_h} \absb{\vomega_o \cdot \vomega_h}}{\absb{\vomega_i \cdot \vec{n}} \absb{\vomega_o \cdot \vec{n}}} \frac{\eta_o^2 \Prt{1 - F(\vomega_i, \vomega_o)} G(\vomega_i, \vomega_o) D(\vomega_i, \vomega_o)}{\Prt{\eta_i (\vomega_i \cdot \vomega_h) + \eta_o (\vomega_o \cdot \vomega_h)}^2} \end{equation*} BTDFに関してもマイクロファセットモデルを考えることができます。