双方向パストレーシング実装

「双方向パストレーシング」ではアルゴリズムの理論面を紹介しました。このページでは実装に関して擬似コードを使って解説します。

サブパスの生成

光源 $ \mathrm{light} $ を選択、選ぶ確率 $ P_\mathrm{light} $
$ \mathrm{light} $ から位置 $ \by_0 $ をサンプル、面積に関する確率密度 $ p_A(\by_0) $
光源点の情報を取得: $ \by_0 $ における法線 $ \vec{n}_{\by_0} $、EDF $ L_e^{(1)}(\by_0, \cdot) $
1点目のウェイトを計算 $ \displaystyle \alpha_1^L = \frac{L_e^{(0)}(\by_0)}{P_\mathrm{light} \cdot p_A(\by_0)} $
サブパスに頂点を追加 $ \mathrm{lightSubPath.append} ( \by_0, \vec{n}_{\by_0}, \Vec{0}, L_e^{(1)}(\by_0, \cdot), \alpha_1^L, p_A(\by_0), 1 ) $
\rh{30}
光の出射方向 $ \vomega_{\by_0 \by_1} $ をサンプル、方向に関する確率密度 $ p_\sigma(\vomega_{\by_0 \by_1}) $
cos項を計算 $ \mathrm{cosLast} \LAR \abs{\vomega_{\by_0 \by_1} \cdot \vec{n}_{\by_0}} $
2点目のウェイトを計算 $ \displaystyle \alpha_2^L = \frac{L_e^{(1)}(\by_0, \vomega_{\by_0 \by_1}) \cdot \mathrm{cosLast}}{p_\sigma(\vomega_{\by_0 \by_1})} \alpha_1^L $
レイを生成 $ \mathrm{ray} \LAR \{ \mathrm{org:\;} \by_0,\; \mathrm{dir:\;} \vomega_{\by_0 \by_1} \} $
続きのサブパスを生成 $ \mathrm{generateSubPath} ( \alpha_2^L, \mathrm{ray}, p_\sigma(\vomega_{\by_0 \by_1}), \mathrm{cosLast}, \mathrm{lightSubPath} ) $

まずは光線サブパスの生成手順について説明します。

レンズ上の位置 $ \bz_0 $ をサンプル、面積に関する確率密度 $ p_A(\bz_0) $
レンズ上の点の情報を取得: $ \bz_0 $ における法線 $ \vec{n}_{\bz_0} $、IDF $ W_e^{(1)}(\bz_0, \cdot) $
1点目のウェイトを計算 $ \displaystyle \alpha_1^E = \frac{W_e^{(0)}(\bz_0)}{p_A(\bz_0)} $
サブパスに頂点を追加 $ \mathrm{eyeSubPath.append} ( \bz_0, \vec{n}_{\bz_0}, \Vec{0}, W_e^{(1)}(\bz_0, \cdot), \alpha_1^E, p_A(\bz_0), 1 ) $
\rh{30}
光の入射方向 $ \vomega_{\bz_0 \bz_1} $ をサンプル、方向に関する確率密度 $ p_\sigma(\vomega_{\bz_0 \bz_1}) $
cos項を計算 $ \mathrm{cosLast} \LAR \abs{\vomega_{\bz_0 \bz_1} \cdot \vec{n}_{\bz_0}} $
2点目のウェイトを計算 $ \displaystyle \alpha_2^E = \frac{W_e^{(1)}(\bz_0, \vomega_{\bz_0 \bz_1}) \cdot \mathrm{cosLast}}{p_\sigma(\vomega_{\bz_0 \bz_1})} \alpha_1^E $
レイを生成 $ \mathrm{ray} \LAR \{ \mathrm{org:\;} \bz_0,\; \mathrm{dir:\;} \vomega_{\bz_0 \bz_1} \} $
続きのサブパスを生成 $ \mathrm{generateSubPath} ( \alpha_2^E, \mathrm{ray}, p_\sigma(\vomega_{\bz_0 \bz_1}), \mathrm{cosLast}, \mathrm{eyeSubPath}) $

続いて視線サブパスの生成手順について説明します。おおよそ光線サブパスと同じ手順です。

function $ \mathrm{generateSubPath} $( パスのウェイト $ \alpha $, レイ $ \mathrm{ray} $, 立体角測度の確率密度 $ p_{\sigma, \mathrm{last}} $, 最後のcos項 $ \mathrm{cosLast} $, サブパス $ \mathrm{subPath} $ ) {
	最後のロシアンルーレットの確率 $ P_{\mathrm{RR}} \LAR 1 $
	while レイ $ \mathrm{ray} $ をトレースして衝突がある {
		衝突点の情報を取得: 位置 $ \vx $, 法線 $ \vec{n} $, トレースしてきた方向 $ \vomega_\mathrm{traced} \LAR -\mathrm{ray.dir} = $ ($ \vomega_o $ or $ \vomega_i $), BSDF $ f_s(\cdot) $
		\rh{30}
		最後の頂点との距離の2乗 $ \mathrm{dist2} \LAR \abs{\vx - \mathrm{subPath.lastVertex.position}}^2 $
		現在の点 $ \vx $ をサンプリングする面積に関する確率密度 $ \displaystyle p_{A, \vx} \LAR \frac{p_{\sigma, \mathrm{last}} \cdot \abs{\vomega_\mathrm{traced} \cdot \vec{n}}}{\mathrm{dist2}} $
		サブパスに頂点を追加 $ \mathrm{subPath.append} ( \vx, \vec{n}, \vomega_\mathrm{traced}, f_s(\cdot), \alpha, p_{A, \vx}, P_{RR} ) $
		\rh{30}
		if 視線サブパストレース中に現在の点が光源 or 光線サブパストレース中に現在の点がレンズの場合 {
			$ \ldots $
		}
		\rh{30}
		次のトレース方向をサンプル $ \vomega_\mathrm{sampled} = $ ($\vomega_i $ or $ \vomega_o $)、方向に関する確率密度 $ p_\sigma(\vomega_\mathrm{sampled}) $, 逆方向の確率密度 $ p_\sigma(\vomega_\mathrm{traced}) $
		ウェイトを更新 $ \displaystyle \alpha \LAR \alpha \times \frac{f_s(\vx, \vomega_i, \vomega_o) \abs{\vomega_\mathrm{sampled} \! \cdot \vec{n}}}{p_\sigma(\vomega_\mathrm{sampled})} $
		\rh{30}
		ロシアンルーレットの確率を決める $ P_{RR} \LAR \ldots $
		if $ [0, 1) $ の一様乱数 $ \xi $ に関して $ \xi \ge P_{RR} $
			break
		\rh{30}
		新たなレイを生成 $ \mathrm{ray} \LAR \{ \mathrm{org:\;} \vx,\; \mathrm{dir:\;} \vomega_\mathrm{sampled} \} $
		ウェイトにロシアンルーレットの確率を反映 $ \displaystyle \alpha \LAR \alpha \times \frac{1}{P_{RR}} $
		\rh{30}
		最後から2番目の頂点を逆方向からサンプリングする場合の値を記録
		面積に関する確率密度 $ \displaystyle \mathrm{subPath.secondLastVertex.revAreaPDF} \LAR \frac{p_\sigma(\vomega_\mathrm{traced}) \cdot \mathrm{cosLast}}{\mathrm{dist2}} $
		ロシアンルーレットの確率 $ \displaystyle \mathrm{subPath.secondLastVertex.revRRProb} \LAR \ldots $
		\rh{30}
		最後の確率密度・cos項を更新 $ p_{\sigma, \mathrm{last}} \LAR p_\sigma(\vomega_\mathrm{sampled}),\; \mathrm{cosLast} \LAR \abs{\vomega_\mathrm{sampled} \cdot \vec{n}} $
	}
}

光線・視線サブパスの構築は、いずれも3点目以降はBSDFのサンプリングとなりほぼ共通の処理となるため、ひとつの関数にまとめることが考えられます。おおまかな流れとしてはパストレーシングと似ています。

サブパスの接続とMISウェイトの計算

for $ t \LAR 1 $ to 視線サブパスの頂点数 {
	視線サブパスの $ t $ 頂点目を取得 $ \mathrm{eyeVtx} \LAR \mathrm{eyeSubPath.getNthVertex(} t \mathrm{)} $
	for $ s \LAR 1 $ to 光線サブパスの頂点数 {
		光線サブパスの $ s $ 頂点目を取得　$ \mathrm{lightVtx} \LAR \mathrm{lightSubPath.getNthVertex(} s \mathrm{)} $
		\rh{30}
		接続辺のベクトルと距離の2乗を計算
		$ \vomega_\mathrm{connect} \LAR \mathrm{normalize(lightVtx.position - eyeVtx.position)} $, $ \mathrm{dist2_{connect}} \LAR \abs{\mathrm{lightVtx.position - eyeVtx.position}}^2 $
		光線サブパスの端点のcos項を計算 $ \mathrm{cosLightEnd} = \abs{\vomega_\mathrm{connect} \cdot \mathrm{lightVtx.normal}} $
		視線サブパスの端点のcos項を計算 $ \mathrm{cosEyeEnd} = \abs{\vomega_\mathrm{connect} \cdot \mathrm{eyeVtx.normal}} $
		接続辺の幾何項を計算 $ \displaystyle G_\mathrm{connect} = \frac{\mathrm{cosLightEnd} \cdot \mathrm{cosEyeEnd}}{\mathrm{dist2_{connect}}} $
		\rh{30}
		光線サブパスの頂点のBSDFを取得 $ f_{s, \mathrm{lightEnd}}(\cdot) \LAR \mathrm{lightVtx.function} $
		BSDFの値を計算 $ f_{s, \mathrm{lightEnd}} = f_{s, \mathrm{lightEnd}}(\mathrm{lightVtx.position}, \mathrm{lightVtx.tracedDir}, -\vomega_\mathrm{connect}) $
		$ \mathrm{lightVtx.tracedDir} $ 方向からトレースして $ -\vomega_\mathrm{connect} $ 方向にサンプリングする場合と、逆方向の場合の確率密度を計算
		$ p_{\sigma, \mathrm{extendLight, 1st}} \LAR p_\sigma(-\vomega_\mathrm{connect}) $, $ p_{\sigma, \mathrm{extendEye, 2nd}} \LAR p_\sigma(\mathrm{lightVtx.tracedDir}) $
		\rh{30}
		視線サブパスの頂点のBSDFを取得 $ f_{s, \mathrm{eyeEnd}}(\cdot) \LAR \mathrm{eyeVtx.function} $
		BSDFの値を計算 $ f_{s, \mathrm{eyeEnd}} = f_{s, \mathrm{eyeEnd}}(\mathrm{eyeVtx.position}, \vomega_\mathrm{connect}, \mathrm{eyeVtx.tracedDir}) $
		$ \mathrm{eyeVtx.tracedDir} $ 方向からトレースして $ \vomega_\mathrm{connect} $ 方向にサンプリングする場合と、逆方向の場合の確率密度を計算
		$ p_{\sigma, \mathrm{extendEye, 1st}} \LAR p_\sigma(\vomega_\mathrm{connect}) $, $ p_{\sigma, \mathrm{extendLight, 2nd}} \LAR p_\sigma(\mathrm{eyeVtx.tracedDir}) $
		\rh{30}
		放射束の伝達度合いを計算 $ c_{s, t} \LAR f_{s, \mathrm{lightEnd}} \, G_\mathrm{connect} \, f_{s, \mathrm{eyeEnd}} $
		\rh{20}
        if $ \mathrm{lightVtx} $ と $ \mathrm{eyeVtx} $ の間に遮蔽物がある or $ c_{s, t} $ がゼロ
        	continue
        \rh{40}
        光線サブパスの1度目の延長における確率密度の測度を変換、ロシアンルーレットの確率も求める
        $ \displaystyle p_{A, \mathrm{extendLight, 1st}} = \frac{p_{\sigma, \mathrm{extendLight, 1st}} \cdot \mathrm{cosEyeEnd}}{\mathrm{dist2_{connect}}} $
        $ P_{RR, \mathrm{extendLight, 1st}} \LAR \ldots $
        if $ t > 1 $
        	視線サブパスの接続頂点の1つ前の頂点を取得 $ \mathrm{eyeVtx2nd} \LAR \mathrm{eyeSubPath.getNthVertex(} t - 1 \mathrm{)} $
        	光線サブパスの2度目の延長における確率密度の測度を変換、ロシアンルーレットの確率も求める
        	$ \vomega_{\mathrm{2nd}} \LAR \mathrm{normalize(eyeVtx2nd.position - eyeVtx.position)} $, $ \mathrm{dist2} \LAR \abs{\mathrm{eyeVtx2nd.position - eyeVtx.position}}^2 $
        	$ \displaystyle p_{A, \mathrm{extendLight, 2nd}} = \frac{p_{\sigma, \mathrm{extendLight, 2nd}} \cdot \abs{\vomega_\mathrm{2nd} \cdot \mathrm{eyeVtx2nd.normal}}}{\mathrm{dist2}} $
        	$ P_{RR, \mathrm{extendLight, 2nd}} \LAR \ldots $
        \rh{40}
        視線サブパスの1度目の延長における確率密度の測度を変換、ロシアンルーレットの確率も求める
        $ \displaystyle p_{A, \mathrm{extendEye, 1st}} = \frac{p_{\sigma, \mathrm{extendEye, 1st}} \cdot \mathrm{cosLightEnd}}{\mathrm{dist2_{connect}}} $
        $ P_{RR, \mathrm{extendEye, 1st}} \LAR \ldots $
        if $ s > 1 $
        	光線サブパスの接続頂点の1つ前の頂点を取得 $ \mathrm{lightVtx2nd} \LAR \mathrm{lightSubPath.getNthVertex(} s - 1 \mathrm{)} $
        	視線サブパスの2度目の延長における確率密度の測度を変換、ロシアンルーレットの確率も求める
        	$ \vomega_{\mathrm{2nd}} \LAR \mathrm{normalize(lightVtx2nd.position - lightVtx.position)} $, $ \mathrm{dist2} \LAR \abs{\mathrm{lightVtx2nd.position - lightVtx.position}}^2 $
        	$ \displaystyle p_{A, \mathrm{extendEye, 2nd}} = \frac{p_{\sigma, \mathrm{extendEye, 2nd}} \cdot \abs{\vomega_\mathrm{2nd} \cdot \mathrm{lightVtx2nd.normal}}}{\mathrm{dist2}} $
        	$ P_{RR, \mathrm{extendEye, 2nd}} \LAR \ldots $
        \rh{40}
        MISウェイトを計算 $ \begin{aligned}[t] w_{s, t} \LAR \mathrm{calculateMISWeight} (& \mathrm{lightSubPath}, \mathrm{eyeSubPath}, s, t, \\& p_{A, \mathrm{extendLight, 1st}}, P_{RR, \mathrm{extendLight, 1st}}, p_{A, \mathrm{extendLight, 2nd}}, P_{RR, \mathrm{extendLight, 2nd}}, \\& p_{A, \mathrm{extendEye, 1st}}, P_{RR, \mathrm{extendEye, 1st}}, p_{A, \mathrm{extendEye, 2nd}}, P_{RR, \mathrm{extendEye, 2nd}} ) \end{aligned} $
        寄与を計算 $ C_{s, t} \LAR w_{s, t} \times \mathrm{lightVtx.alpha} \times c_{s, t} \times \mathrm{eyeVtx.alpha} $
        \rh{30}
        if $ t > 1 $
        	処理中のピクセル位置 $ j $ に寄与を蓄積する $ I_{eye, j} \LAR I_{eye, j} + C_{s, t} $
        else
        	視線サブパスの接続頂点 $ \mathrm{eyeVtx} $ と接続辺のベクトル $ \vomega_\mathrm{connect} $ からピクセル位置 $ j^* $ を逆算する
        	逆算したピクセル位置 $ j^* $ に寄与を蓄積する $ I_{light, j^*} \LAR I_{light, j^*} + C_{s, t} $
	}
}

光線サブパス・視線サブパス、両方を構築し終わった後、それぞれの頂点間の接続・MISウェイトの計算を行い、寄与の蓄積を行なっていきます。

function $ \mathrm{calculateMISWeight} $( 光線・視線サブパス $ \mathrm{lightSubPath} $, $ \mathrm{eyeSubPath} $, それぞれのサブパスの頂点数 $ \mathrm{numLightVtx} $, $ \mathrm{numEyeVtx} $
									光線サブパスの1, 2度目の延長に関する確率密度 $ p_{A, \mathrm{extendLight, 1st}}, P_{RR, \mathrm{extendLight, 1st}}, p_{A, \mathrm{extendLight, 2nd}}, P_{RR, \mathrm{extendLight, 2nd}} $
									視線サブパスの1, 2度目の延長に関する確率密度 $ p_{A, \mathrm{extendEye, 1st}}, P_{RR, \mathrm{extendEye, 1st}}, p_{A, \mathrm{extendEye, 2nd}}, P_{RR, \mathrm{extendEye, 2nd}} $ ) {
	MISウェイトの逆数を初期化 $ \mathrm{recMISWeight} \LAR 1 $
	\rh{30}
	光線サブパスの延長(視線サブパスの短縮)を考える
	if $ \mathrm{numEyeVtx} > 0 $
		視線サブパスの接続頂点を取得 $ \mathrm{eyeEndVtx} \LAR \mathrm{eyeSubPath.getNthVertex(} \mathrm{numEyeVtx} \mathrm{)} $
		1度目の延長における確率密度の比を計算 $ \displaystyle \mathrm{densityRatio} \LAR \frac{p_{A, \mathrm{extendLight, 1st}} P_{RR, \mathrm{extendLight, 1st}}}{\mathrm{eyeEndVtx.areaPDF} \times \mathrm{eyeEndVtx.RRProb}} $
		if 短縮した頂点の確率密度にデルタ関数が含まれていない
			$ \mathrm{recMISWeight} \LAR \mathrm{recMISWeight} + \mathrm{densityRatio}^2 $
		\rh{30}
		if $ \mathrm{numEyeVtx} - 1 > 0 $
			視線サブパスの接続頂点の1つ前の頂点を取得 $ \mathrm{eyeNextEndVtx} \LAR \mathrm{eyeSubPath.getNthVertex(} \mathrm{numEyeVtx} - 1 \mathrm{)} $
			2度目の延長における確率密度の比を計算 $ \displaystyle \mathrm{densityRatio} \LAR \mathrm{densityRatio} \times \frac{p_{A, \mathrm{extendLight, 2nd}} P_{RR, \mathrm{extendLight, 2nd}}}{\mathrm{eyeNextEndVtx.areaPDF} \times \mathrm{eyeNextEndVtx.RRProb}} $
			if 今回と前回、短縮した頂点のいずれの確率密度にもデルタ関数が含まれていない
				$ \mathrm{recMISWeight} \LAR \mathrm{recMISWeight} + \mathrm{densityRatio}^2 $
			\rh{30}
			for $ t \LAR \mathrm{numEyeVtx} - 2 $ to $ 1 $
				視線サブパスの短縮頂点を取得 $ \mathrm{newLightVtx} \LAR \mathrm{eyeSubPath.getNthVertex(} t \mathrm{)} $
				延長における確率密度の比を計算 $ \displaystyle \mathrm{densityRatio} \LAR \mathrm{densityRatio} \times \frac{\mathrm{newLightVtx.revAreaPDF} \times \mathrm{newLightVtx.revRRProb}}{\mathrm{newLightVtx.areaPDF} \times \mathrm{newLightVtx.RRProb}} $
				if 今回と前回、短縮した頂点のいずれの確率密度にもデルタ関数が含まれていない
					$ \mathrm{recMISWeight} \LAR \mathrm{recMISWeight} + \mathrm{densityRatio}^2 $
	\rh{40}
	視線サブパスの延長(光線サブパスの短縮)を考える
	if $ \mathrm{numLightVtx} > 0 $
		光線サブパスの接続頂点を取得 $ \mathrm{lightEndVtx} \LAR \mathrm{lightSubPath.getNthVertex(} \mathrm{numLightVtx} \mathrm{)} $
		1度目の延長における確率密度の比を計算 $ \displaystyle \mathrm{densityRatio} \LAR \frac{p_{A, \mathrm{extendEye, 1st}} P_{RR, \mathrm{extendEye, 1st}}}{\mathrm{lightEndVtx.areaPDF} \times \mathrm{lightEndVtx.RRProb}} $
		if 短縮した頂点の確率密度にデルタ関数が含まれていない
			$ \mathrm{recMISWeight} \LAR \mathrm{recMISWeight} + \mathrm{densityRatio}^2 $
		\rh{30}
		if $ \mathrm{numLightVtx} - 1 > 0 $
			光線サブパスの接続頂点の1つ前の頂点を取得 $ \mathrm{lightNextEndVtx} \LAR \mathrm{lightSubPath.getNthVertex(} \mathrm{numLightVtx} - 1 \mathrm{)} $
			2度目の延長における確率密度の比を計算 $ \displaystyle \mathrm{densityRatio} \LAR \mathrm{densityRatio} \times \frac{p_{A, \mathrm{extendEye, 2nd}} P_{RR, \mathrm{extendEye, 2nd}}}{\mathrm{lightNextEndVtx.areaPDF} \times \mathrm{lightNextEndVtx.RRProb}} $
			if 今回と前回、短縮した頂点のいずれの確率密度にもデルタ関数が含まれていない
				$ \mathrm{recMISWeight} \LAR \mathrm{recMISWeight} + \mathrm{densityRatio}^2 $
			\rh{30}
			for $ s \LAR \mathrm{numLightVtx} - 2 $ to $ 1 $
				光線サブパスの短縮頂点を取得 $ \mathrm{newEyeVtx} \LAR \mathrm{lightSubPath.getNthVertex(} s \mathrm{)} $
				延長における確率密度の比を計算 $ \displaystyle \mathrm{densityRatio} \LAR \mathrm{densityRatio} \times \frac{\mathrm{newEyeVtx.revAreaPDF} \times \mathrm{newEyeVtx.revRRProb}}{\mathrm{newEyeVtx.areaPDF} \times \mathrm{newEyeVtx.RRProb}} $
				if 今回と前回、短縮した頂点のいずれの確率密度にもデルタ関数が含まれていない
					$ \mathrm{recMISWeight} \LAR \mathrm{recMISWeight} + \mathrm{densityRatio}^2 $
	\rh{30}
	return $ 1 \; / \; \mathrm{recMISWeight} $
}

$ s = 0 $ または $ t = 0 $ の戦略の寄与の蓄積

if 光線サブパストレース中
	レンズ面のサンプリングによって現在の点 $ \vx $ を得る確率密度を計算 $ p_{A, \mathrm{extendEye, 1st}} $	
	レンズ面における光の入射方向のサンプリングによって一つ前の点を得る確率密度を計算 $ \displaystyle p_{A, \mathrm{extendEye, 2nd}} \LAR \frac{p_\sigma(\vomega_\mathrm{traced}) \cdot \mathrm{cosLast}}{\mathrm{dist2}} $
	$ \begin{aligned}[t] w_{s, 0} \LAR \mathrm{calculateMISWeight} (& \mathrm{subPath}, \mathrm{null}, \mathrm{subPath.numVertices}, 0, \\& 0, 0, 0, 0, \\& p_{A, \mathrm{extendEye, 1st}}, 1, p_{A, \mathrm{extendEye, 2nd}}, 1 ) \end{aligned} $
	寄与を計算 $ C_{s, 0} \LAR w_{s, 0} \times \alpha \times W_e(\vx, \vomega_\mathrm{traced}) $
	現在のレイからピクセル位置 $ j^* $ を逆算して寄与を蓄積する $ I_{light, j^*} \LAR I_{light, j^*} + C_{s, 0} $
else
	ヒットしている光源が選ばれる確率を計算 $ P_\mathrm{light} $
	光源面のサンプリングによって現在の点 $ \vx $ を得る確率密度を計算 $ p_{A, \mathrm{extendLight, 1st}} $	
	光源が選ばれる確率を乗算 $ p_{A, \mathrm{extendLight, 1st}} \LAR P_\mathrm{light} p_{A, \mathrm{extendLight, 1st}} $
	光源面における光の出射方向のサンプリングによって一つ前の点を得る確率密度を計算 $ \displaystyle p_{A, \mathrm{extendLight, 2nd}} \LAR \frac{p_\sigma(\vomega_\mathrm{traced}) \cdot \mathrm{cosLast}}{\mathrm{dist2}} $
	$ \begin{aligned}[t] w_{0, t} \LAR \mathrm{calculateMISWeight} (& \mathrm{null}, \mathrm{subPath}, 0, \mathrm{subPath.numVertices}, \\& p_{A, \mathrm{extendLight, 1st}}, 1, p_{A, \mathrm{extendLight, 2nd}}, 1, \\& 0, 0, 0, 0 ) \end{aligned} $
	寄与を計算 $ C_{0, t} \LAR w_{0, t} \times L_e(\vx, \vomega_\mathrm{traced}) \times \alpha $
	処理中のピクセル位置 $ j $ に寄与を蓄積する $ I_{eye, j} \LAR I_{eye, j} + C_{0, t} $

コードまとめ

light imageとeye imageを初期化 $ I_{light, j} \LAR 0,\; I_{eye, j} \LAR 0 $ for 全ての画素 $ j $
for $ 0 $ to サンプル数 $ N - 1 $ {
	for 画素 $ j $ in 全てのピクセル {
		光線サブパス $ \mathrm{lightSubPath} $, 視線サブパス $ \mathrm{eyeSubPath} $ を初期化
		\rh{30}
		// アルゴリズム1 .光線サブパスの構築
		...
		\rh{30}
		// アルゴリズム2. 視線サブパスの構築
		...
		\rh{30}
		// アルゴリズム4. サブパスの接続
		...
	}
}
light imageとeye imageを加算 $ I_j \LAR I_{light, j} + I_{eye, j} $ for 全ての画素 $ j $
画素値をサンプル数で割る $ I_j \LAR I_j \; / \; N $ for 全ての画素 $ j $

ここまでに説明した各コード片を組み合わせて双方向パストレーシングのアルゴリズムとなります。プログラムの最も外枠としては、(light imageがありますが)基本的には各ピクセル独立に処理して最後にサンプル数で平均をとって結果出力、というパストレーシングと同じ処理になります。

デバッグ

双方向パストレーシングはここまでに示した通り、(疑似コードだとそんなに大したものに見えないかもしれないですが)結構複雑な実装になります。そのため、いきなりはアルゴリズム全体としての検証が難しいかもしれません。そこで双方向パストレーシングのデバッグとして次に示すような、部分的な検証を重ねていくことをお勧めします。

リファレンスレンダラーの確立

ライトトレーシングの検証

特定の経路長の検証

拡散反射面のみのシーン

法線補間は使わない

さいごに

パストレーシングに比べると双方向からトレースを行う関係もあって疑似コードが随分と巨大になってしまいましたが、逆に言えば双方向のところはほぼ同じことを行なっているため、その分を省いて考えれば少しは気が楽になります。理論をしっかりと理解した上で読んでいただければ個々の部分はそれほど難しいことはしていないとわかると思います。

参考文献